Conjetura de Poincaré

Hoy, leyendo el artículo titulado Elusive Proof, Elusive Prover: A New Mathematical Mystery del periódico New York Times he disfrutado como un enano.

El artículo trata sobre la resolución (completa) de la conjetura de Poincaré por el excéntrico matemático ruso Grisha Perelman.

Desde siempre, las matemáticas me han atraído de forma irresistible. No porque las comprendiera sino justo por el contrario. Lo reconozco: soy un negado absoluto para las matemáticas. Mis matemáticas son más bien intuitivas y, las pocas que manejo, lo hago de oído. Pero, a pesar de mis enormes limitaciones para con ellas, siempre me han fascinado. Encuentro genial la forma que tienen de explicar la realidad que nos envuelve sólo a partir de relaciones numéricas, proposiciones, teoremas, definiciones, axiomas y comentarios. Es la abstracción en estado puro.

¿Qué es la conjetura de Poincaré? Pues tal y como explica el artículo del NYTimes, "It asserts that if any loop in a certain kind of three-dimensional space can be shrunk to a point without ripping or tearing either the loop or the space, the space is equivalent to a sphere." Y continúa "The conjecture is fundamental to topology, the branch of math that deals with shapes, sometimes described as geometry without the details. To a topologist, a sphere, a cigar and a rabbit’s head are all the same because they can be deformed into one another. Likewise, a coffee mug and a doughnut are also the same because each has one hole, but they are not equivalent to a sphere."


Lo que estaba proponiendo Poincaré en 1904 era que cualquier objeto sin agujeros era equivalente a una esfera. Y por cualquier objeto entendía un objeto compacto, cerrado y finito, independientemente de sus dimensiones.

La conjetura que Poincaré se planteó inicialmente en el espacio tridimensional, pero al poco tiempo se descubrió que la conjetura se podía generalizar a un espacio n-dimensional.

En 1960, el genial matemático Stephen Smale consiguió demostrar que la conjetura era cierta para espacios de 5 o más dimensiones. Por ello, fue premiado con la Fields Medal (en matemáticas, este premio es equivalente al Premio Nobel). En 1983, Michael Freedman, lo consiguió para espacios de cuatro dimensiones. Y hasta hace unos meses, no se había demostrado que la conjetura fuera cierta en el que, en un principio nos es más familiar, el espacio tridimensional.

Esta demostración es lo que consiguió realizar hace unos meses Grisha Perelman. Podeis ver los tres trabajos originales de Perelman (los cuales datan de Noviembre de 2002 y Marzo y Julio de 2003) en la web del prestigio Clay Mathematics Institute. Los trabajos constan de 39, 22 y 7 páginas respectivamente llenas de matemáticas extraordinariamente sofisticadas para un absoluto lego como yo.

Los artículos de Perelman son extraordinariamente sintéticos y densos, con lo que muy pocos matemáticos pudieron entender dichos trabajos. Dada la enorme complejidad de estos artículos, dos matemáticos, Bruce Kleiner y John Lott, se dedicaron a desarrollar completamente el trabajo de Grisha Perelman y publicaron un artículo de 192 páginas de extensión donde se explica detalladamente los tres trabajos.

En el pasado Congreso Internacional de Matemáticas celebrado en Madrid, se propuso Grisha Perelman para la Fields Medal, pero la rechazó.

¡Uno de los grandes misterios de las matemáticas aparentemente resuelto!